撲克牌遊戲中各種牌型的自然機率分析報告

1. 前言

撲克牌遊戲，尤其是五張換手撲克，在全球廣受歡迎。了解遊戲中各種牌型出現的機率對於玩家制定策略至關重要。本報告旨在透過組合數學的方法，計算在一副標準的 52 張撲克牌中，隨機抽取 5 張牌時，形成各種特定牌型的自然機率，這些牌型已由使用者提供的 CardWinKind 陣列定義。本分析將基於標準的組合學原理，計算每種牌型的組合數量，並將其除以所有可能的五張牌組合總數，從而得出其發生的機率。本報告將詳細闡述每種牌型的計算過程，並總結其機率分佈。

2. 計算所有可能的五張牌組合數量

在計算任何特定牌型的機率之前，首先需要確定從一副標準的 52 張撲克牌中抽取 5 張牌的所有可能組合數量。由於在撲克牌中，手中的牌的順序並不重要，因此我們使用組合的概念。組合的公式為 C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), 其中 n 是總數（在此為 52 張牌），而 k 是選擇的數量（在此為 5 張牌）。

根據此公式，所有可能的五張牌組合總數為：

C(52, 5) = 52! / (5! * (52-5)!) = 52! / (5! * 47!) = (52 * 51 * 50 * 49 * 48) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 2,598,960

這個數字 2,598,960 代表了從一副標準的 52 張撲克牌中抽取 5 張牌的所有不同可能組合 1。這個龐大的數字意味著任何特定的高階牌型出現的可能性都相對較低，這也解釋了為何某些牌型在撲克牌遊戲中被視為非常稀有 1。重要的是要理解，這裡計算的是組合而非排列，因為玩家手中的五張牌的順序並不影響其牌型 3。如果考慮順序，則會得到一個更大的數字，但那並不適用於計算撲克牌的牌型機率。

3. 計算皇家同花順的機率

皇家同花順是指由相同花色的 Ace、King、Queen、Jack 和 Ten 組成的牌型。由於撲克牌共有四種花色（紅心、方塊、梅花、黑桃），而每種花色只有一種 Ace、King、Queen、Jack 和 Ten 的組合，因此皇家同花順的組合數量僅有 4 種 1。

計算皇家同花順的機率，我們將皇家同花順的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(皇家同花順) = (皇家同花順的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 4 / 2,598,960

將此機率簡化後得到 1 / 649,740，約等於 0.00000154 或 0.000154% 1。這個極低的機率證實了皇家同花順是撲克牌遊戲中最稀有且最具價值的牌型 1。實際上，如果一個人每晚玩 20 手撲克牌，平均需要大約 89 年才能看到一次皇家同花順 1。

4. 計算同花順的機率（不含皇家同花順）

同花順是指由五張相同花色且牌面點數連續的牌組成的牌型，但不包括皇家同花順。一副撲克牌中共有 10 種可能的連續牌面點數序列（A-5, 2-6, 3-7, 4-8, 5-9, 6-10, 7-J, 8-Q, 9-K, 10-A）8。每種序列可以出現在四種不同的花色中，因此總共有 10 * 4 = 40 種同花順 6。由於其中 4 種是皇家同花順，因此非皇家同花順的數量為 40 - 4 = 36 種。

計算同花順的機率，我們將非皇家同花順的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(同花順) = (同花順的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 36 / 2,598,960

將此機率簡化後得到 1 / 72,193，約等於 0.0000139 或 0.00139% 6。雖然同花順仍然非常稀有，但其出現的可能性約是皇家同花順的 18 倍。值得注意的是，Ace 在同花順中既可以作為最高牌（例如 10-J-Q-K-A），也可以作為最低牌（例如 A-2-3-4-5）8。

5. 計算四條的機率

四條是指由四張相同牌面點數的牌和一張不同牌面點數的牌（稱為 kicker）組成的牌型。首先，我們需要選擇四張相同點數的牌的牌面點數，共有 13 種選擇（從 2 到 Ace）。對於選定的牌面點數，四種花色的牌都必須包含在內，這只有一種方式。然後，我們需要選擇第五張牌的牌面點數，這張牌的點數不能與前四張相同，因此有 12 種選擇。對於這第五張牌，有四種花色可以選擇。因此，四條的組合數量為 13 * 1 * 12 * 4 = 624 種 6。

計算四條的機率，我們將四條的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(四條) = (四條的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 624 / 2,598,960

將此機率簡化後得到 1 / 4,165，約等於 0.00024 或 0.02401% 6。四條的出現機率明顯高於同花順，但仍然是一種相對稀有的牌型。在比較兩手四條時，牌面點數較高的四條獲勝 12。

6. 計算葫蘆的機率

葫蘆是指由三張相同牌面點數的牌和兩張相同牌面點數的牌組成的牌型。首先，我們需要選擇三張相同點數的牌的牌面點數，共有 13 種選擇。對於選定的牌面點數，有 C(4, 3) = 4 種選擇三張花色的方式。然後，我們需要選擇一對相同點數的牌的牌面點數，這張牌的點數不能與前三張相同，因此有 12 種選擇。對於選定的牌面點數，有 C(4, 2) = 6 種選擇兩張花色的方式。因此，葫蘆的組合數量為 13 * 4 * 12 * 6 = 3,744 種 6。

計算葫蘆的機率，我們將葫蘆的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(葫蘆) = (葫蘆的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 3,744 / 2,598,960

將此機率簡化後得到 1 / 694，約等於 0.00144 或 0.1441% 6。葫蘆的出現機率比四條高，反映了形成這種牌型的方式更多。在比較兩手葫蘆時，三條的牌面點數較高的葫蘆獲勝 16。

7. 計算同花的機率（不含同花順和皇家同花順）

同花是指由五張相同花色的牌組成的牌型，但這些牌的牌面點數不必連續。首先，我們需要選擇一種花色，共有 4 種選擇。對於選定的花色，我們需要從該花色的 13 張牌中選擇 5 張，共有 C(13, 5) = 1,287 種方式。因此，所有同花的組合數量（包括同花順和皇家同花順）為 4 * 1,287 = 5,148 種 18。為了得到僅為同花而非同花順的組合數量，我們需要從中減去同花順的數量（包括皇家同花順），即 40 種。因此，純粹的同花組合數量為 5,148 - 40 = 5,108 種 8。

計算同花的機率，我們將純粹的同花的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(同花) = (同花的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 5,108 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.00197 或 0.1965% 6。同花的出現機率略高於葫蘆，表示五張相同花色的牌（不論順序）比三條加一對更常見。

8. 計算順子的機率（不含同花順和皇家同花順）

順子是指由五張牌面點數連續的牌組成的牌型，但這些牌不必是同一花色。共有 10 種可能的連續牌面點數序列（A-5, 2-6, …, 9-K, 10-A）8。對於每種序列，每張牌都可以是四種花色中的任何一種，因此共有 4^5 = 1,024 種花色組合。因此，所有順子的組合數量（包括同花順和皇家同花順）為 10 * 1,024 = 10,240 種 8。為了得到僅為順子而非同花順的組合數量，我們需要從中減去同花順的數量（包括皇家同花順），即 40 種。因此，純粹的順子組合數量為 10,240 - 40 = 10,200 種 8。

計算順子的機率，我們將純粹的順子的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(順子) = (順子的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 10,200 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.00392 或 0.3925% 6。順子的出現機率明顯高於同花，說明連續的牌面點數（不論花色）比相同花色（不論順序）更易出現。在比較兩手順子時，最高牌面點數較高的順子獲勝 22。

9. 計算三條的機率

三條是指由三張相同牌面點數的牌和兩張不同牌面點數的牌組成的牌型。首先，我們需要選擇三張相同點數的牌的牌面點數，共有 13 種選擇。對於選定的牌面點數，有 C(4, 3) = 4 種選擇三張花色的方式。然後，我們需要從剩餘的 12 種牌面點數中選擇兩張不同點數的牌，共有 C(12, 2) = 66 種選擇。對於這兩張不同點數的牌，每張都有 4 種花色選擇，因此共有 4 * 4 = 16 種花色組合。因此，三條的組合數量為 13 * 4 * 66 * 16 = 54,912 種 6。

計算三條的機率，我們將三條的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(三條) = (三條的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 54,912 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.02113 或 2.1128% 6。三條的出現機率顯著高於順子，表明這種牌型更為常見。若兩位玩家都持有三條，則點數較高的三條獲勝；如果點數相同，則比較剩餘兩張牌中點數最高的牌，依此類推 25。

10. 計算兩對的機率

兩對是指由兩張相同牌面點數的牌、另外兩張相同牌面點數的牌（與第一對不同）和一張與這四張牌都不同的牌組成的牌型。首先，我們需要從 13 種牌面點數中選擇兩對的點數，共有 C(13, 2) = 78 種選擇。對於第一對，有 C(4, 2) = 6 種花色組合；對於第二對，也有 C(4, 2) = 6 種花色組合。最後，我們需要從剩餘的 11 種牌面點數中選擇一張牌作為第五張牌，且有 4 種花色選擇。因此，兩對的組合數量為 78 * 6 * 6 * 11 * 4 = 123,552 種 6。

計算兩對的機率，我們將兩對的組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(兩對) = (兩對的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 123,552 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.04754 或 4.7539% 6。兩對的出現機率是三條的兩倍以上，是更常見的牌型。在比較兩手兩對時，首先比較點數較高的一對，若相同則比較點數較低的一對，若仍然相同則比較第五張牌（kicker）的點數 28。

11. 計算 Jack 或更好的牌的機率（一對 J 或更大的牌）

Jack 或更好的牌通常指一手牌中包含一對 Jack、Queen、King 或 Ace，以及三張與該對和彼此點數都不同的牌。

• 一對 Jack 的組合數量： 選擇 Jack 的點數（1 種方式），選擇 2 張 Jack 的花色（C(4, 2) = 6 種方式）。然後，從剩餘的 12 種點數中選擇 3 張不同的點數（C(12, 3) = 220 種方式），每張牌有 4 種花色選擇（4^3 = 64 種方式）。因此，一對 Jack 的組合數量為 1 * 6 * 220 * 64 = 84,480。
• 同理，一對 Queen、King 和 Ace 的組合數量也分別為 84,480。

因此，Jack 或更好的牌的總組合數量為 4 * 84,480 = 337,920 種。

計算 Jack 或更好的牌的機率，我們將其組合數量除以所有可能的五張牌組合總數：

P(Jack 或更好的牌) = (Jack 或更好的牌的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 337,920 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.13002 或 13.002%。這個機率遠高於兩對，顯示單一高點數對是相當常見的牌型 6。

12. 計算沒有任何贏牌的牌型的機率

沒有任何贏牌的牌型是指一手牌中沒有任何對子，不是順子，也不是同花。這種情況也稱為高牌（High Card）。計算這種牌型的機率可以通過從總機率 (1) 中減去所有其他贏牌牌型的機率來獲得，也可以直接計算其組合數量並除以總組合數量。根據研究資料，沒有任何贏牌的牌型的組合數量為 1,302,540 種 2。

計算沒有任何贏牌的牌型的機率：

P(沒有任何贏牌的牌型) = (沒有任何贏牌的牌型的組合數量) / (所有可能的五張牌組合總數) = 1,302,540 / 2,598,960

將此機率簡化後約等於 0.50118 或 50.1177% 6。這個機率是所有牌型中最高的，說明在大多數情況下，玩家手中的牌都無法形成任何特定的贏牌組合 2。

13. 撲克牌型及其對應的自然機率列表

下表總結了以上計算出的各種撲克牌型及其對應的自然機率：

14. 結論

本報告詳細分析了在標準五張換手撲克遊戲中，各種牌型出現的自然機率。從最稀有的皇家同花順到最常見的沒有任何贏牌的牌型，每種牌型的機率都經過精確的計算。這些機率數據對於理解撲克牌遊戲的本質至關重要，並能幫助玩家更好地評估其手中的牌的價值以及在遊戲中做出更明智的決策。例如，極低的皇家同花順機率解釋了為何這種牌型如此珍貴，而超過一半的機率是沒有任何贏牌的牌型，則突顯了形成強牌的難度。理解這些機率分佈是成為一名成功的撲克玩家的基礎，儘管每次發牌都是隨機的，但長期的遊戲結果會趨向於這些計算出的平均值。

調整撲克牌機率以提升遊戲趣味性

引言：撲克牌機率的現況與提升遊戲性的追求

撲克牌遊戲之所以歷久不衰，其核心在於機率與技巧的巧妙結合。玩家在每一局中面臨的不確定性，以及透過策略與判斷來提升勝算的機會，共同構成了撲克牌遊戲獨特的魅力。然而，為了進一步提升遊戲的趣味性，特別是在遊戲設計的考量下，調整各種牌型的出現機率成為一個值得探討的議題。本報告旨在深入分析修改撲克牌機率可能帶來的影響，並探討如何在維持遊戲平衡的同時，為玩家創造更具吸引力的體驗。調整機率的關鍵在於如何在既有的遊戲框架下，注入新的變數與刺激，使玩家在熟悉的規則中感受到新鮮感與挑戰。這需要我們從數學、心理學以及遊戲設計等多個角度進行分析，方能找到最佳的調整方案。

解構標準撲克牌機率：修改的基礎

在探討如何調整撲克牌機率之前，深入理解標準的五張牌撲克牌遊戲中各種牌型的出現機率至關重要。下表列出了標準機率下各種牌型的出現機率：

這些機率的計算基於組合數學的原理。一副標準的 52 張撲克牌，任意抽取 5 張牌的組合總數為 C(52, 5) = 2,598,960 種 1。特定牌型的出現機率則是該牌型的組合數除以總組合數。例如，皇家同花順只有 4 種組合（四種花色各一種 A、K、Q、J、10），因此機率極低 4。相對地，一對的組合數高達 1,098,240 種，因此出現機率也最高 4。這種由罕見到常見的機率分布，形成了撲克牌遊戲的價值體系，稀有的牌型自然被賦予更高的價值。理解這些精確的數學機率以及它們之間的巨大差異，是進行有效修改的先決條件。微小的機率變動都可能對遊戲的整體平衡和玩家感受產生顯著的影響。

趣味性的心理學：利用機率與隨機性提升玩家參與度

在遊戲設計中，「趣味性」是一個核心概念，尤其在涉及機率和隨機性的遊戲中更是如此。隨機性可以為遊戲帶來刺激、不可預測性和獨特性 7。適度的隨機性能夠讓玩家在每一局遊戲中都面臨新的挑戰，需要靈活應對並發展新的策略。例如，在策略遊戲 XCOM 中，即使攻擊的命中率高達 90%，仍然存在失敗的可能性，這種不確定性增加了遊戲的緊張感和刺激感 7。然而，過度的隨機性可能會讓玩家感到不公平，認為遊戲結果完全取決於運氣而非技巧，從而降低參與度和滿意度。因此，遊戲設計的關鍵在於在隨機性和玩家的掌控感之間找到平衡 7。清晰地向玩家傳達機率資訊也很重要。當玩家理解遊戲的機率機制時，他們更能接受失敗，並將其視為遊戲體驗的一部分 7。不同的機率分布（例如均勻分布與非均勻分布）會對玩家的參與度和滿意度產生不同的影響 7。非均勻分布會導致某些事件比其他事件更頻繁發生，這可以塑造遊戲的節奏和玩家的期望。例如，在擲骰子遊戲中，擲出總和為 7 的機率最高，而擲出 2 或 12 的機率最低 13。遊戲設計師可以利用這種原理來控制遊戲中不同事件的發生頻率，從而影響玩家的體驗。

調整機率的策略：案例分析

許多傳統和數位卡牌遊戲都曾嘗試修改撲克牌的機率以達到特定的遊戲目的。例如，在撲克牌的變體中，如短牌撲克（Six-Plus Hold’em），移除了牌面數值較小的牌（2 到 5），這直接導致了同花擊敗葫蘆的規則變更，因為同花的機率相對於葫蘆更高了 14。這種修改使得遊戲更注重成手牌的頻率和價值。又如，在一些使用萬用牌（Wild Card）的撲克遊戲中，萬用牌可以替代任何牌，這極大地提高了組成高階牌型（如五條）的機率 5。這種修改往往會讓遊戲更具娛樂性，但也可能犧牲一定的策略深度。數位卡牌遊戲也提供了更多修改機率的可能性。例如，在一些獨立遊戲如 Balatro 中，遊戲機制圍繞著修改標準撲克牌的規則和機率展開，透過不同的卡牌效果和組合，創造出獨特的遊戲體驗 20。這些案例表明，修改撲克牌機率可以有效地改變遊戲的玩法和玩家的感受，但需要仔細權衡其帶來的影響。

真實機率與遊戲平衡及刺激感的權衡

在調整撲克牌機率時，維持真實機率與追求遊戲平衡和刺激感之間存在著重要的權衡。嚴格遵守真實機率可以保持遊戲的公平性和傳統性，讓玩家感受到與現實撲克牌遊戲相似的體驗。然而，為了增加遊戲的刺激感或實現特定的遊戲設計目標，有時需要對機率進行調整。例如，為了讓遊戲節奏更快，可以提高出現較強牌型的機率，讓玩家更容易體驗到刺激的對局。或者，為了平衡不同策略的可行性，可以調整某些牌型的機率，使得一些原本較弱的策略也能夠獲得更高的回報。這種權衡的關鍵在於理解遊戲的核心樂趣是什麼。如果遊戲的樂趣主要來自於策略和技巧的運用，那麼過度偏離真實機率可能會損害遊戲的深度。如果遊戲更側重於娛樂性和刺激感，那麼適度的機率調整可能是可以接受的，甚至是有益的 23。

賠率結構與牌型出現機率的互動

遊戲中的賠率結構與不同牌型的出現機率之間存在著直接的相互作用。賠率通常是根據牌型的稀有程度來設定的；越稀有的牌型，其賠率越高。當牌型的出現機率被調整時，相應的賠率結構也需要進行調整，以維持遊戲的平衡和吸引力 28。例如，如果某種高階牌型（如四條）的出現機率被提高，那麼其賠率可能需要降低，以防止遊戲中出現過多的高額獎勵。反之，如果某種低階牌型（如一對）的出現機率被降低，那麼其賠率可能需要適度提高，以彌補玩家獲得該牌型的難度增加。視頻撲克遊戲是這種互動的一個很好的例子。不同的視頻撲克變體（如 Jacks or Better、Deuces Wild、Bonus Poker）具有不同的賠率表，這些賠率表反映了遊戲規則和萬用牌的使用對牌型出現機率的影響 28。設計者需要仔細考慮牌型機率和賠率之間的關係，以確保遊戲既有趣又具有經濟上的可行性。

不同類型玩家的反應

不同類型的玩家（例如：休閒玩家與核心玩家）可能會對不同的機率設定產生不同的反應 38。休閒玩家通常更注重遊戲的娛樂性和即時的滿足感。他們可能更喜歡看到更頻繁出現的強牌，即使這意味著遊戲的策略深度有所降低。對於這類玩家，略微提高同花、順子甚至葫蘆的出現機率，可能會讓他們更容易體驗到刺激的勝利，從而提升遊戲的樂趣。相反，核心玩家通常更看重遊戲的策略性、平衡性和長期的挑戰性。他們可能會對大幅偏離真實機率的改動持謹慎態度，因為這可能會破壞遊戲的深度和公平性。核心玩家可能更欣賞那些在細微之處進行調整，能夠提升策略空間或創造新的博弈局面的機率修改。了解不同玩家群體的偏好和動機，對於設計出能夠吸引廣泛受眾的遊戲至關重要 44。

運氣與技巧的平衡

撲克牌遊戲中「運氣與技巧」的平衡是其核心魅力之一。運氣體現在發牌的隨機性，而技巧則體現在玩家的策略選擇、風險管理和對手分析等方面 50。修改牌型機率會直接影響這種平衡。如果高階牌型的出現機率顯著提高，那麼運氣的成分可能會增加，因為玩家更容易在短時間內獲得強牌，而技巧的重要性可能會相對降低。相反，如果調整使得強牌更難出現，那麼玩家可能需要更加依賴技巧來從較弱的牌中獲取價值，或者更精準地判斷何時應該放棄。理想的平衡點取決於遊戲的設計目標和目標受眾。一些遊戲可能希望提供更輕鬆、更注重即時刺激的體驗，而另一些遊戲則可能希望強調策略深度和長期競技性。研究表明，在足夠多的牌局中，技巧往往會勝過運氣 56，但機率的調整可以改變這種趨勢發生的速度和程度。

修改撲克牌牌型機率的具體方法與影響

以下是一些修改撲克牌牌型機率的具體方法，以及每種修改可能對遊戲玩法產生的影響：

例如，如果我們將手牌數量增加到 6 張，玩家更容易組成同花、順子甚至葫蘆 64。這可能會導致遊戲中出現更多成手牌的對局，降低高牌的價值，並可能需要調整賠率以反映這些變化。又如，如果我們在遊戲中加入兩張鬼牌作為萬用牌，五條的出現機率將會大大提高 19。這可能會讓遊戲更具娛樂性，但也可能使得原本稀有的四條和葫蘆的價值降低。修改牌組構成的例子是移除 2 到 5 的牌，這會讓組成順子更容易，並改變了起手牌的價值 15。改變牌型定義的例子是短牌撲克中同花大於葫蘆的規則 15，這使得玩家更傾向於追求同花。實施獎勵機率牌型可以創造獨特的遊戲體驗。例如，我們可以設定特定的三條組合（如三張 7）具有更高的賠率，並略微提高其出現機率，以增加遊戲的趣味性。

結論

調整撲克牌遊戲的牌型出現機率是一個複雜但充滿潛力的設計方向。透過仔細分析標準機率、玩家心理、現有案例以及不同修改方法可能產生的影響，遊戲設計師可以創造出更符合特定目標受眾和遊戲體驗的撲克牌遊戲。在進行任何調整時，務必考慮到遊戲的平衡性、刺激感、玩家的反應以及賠率結構的配合。持續的測試和回饋收集將是確保修改成功的關鍵步驟。最終目標是在維持撲克牌遊戲核心樂趣的基礎上，透過巧妙的機率調整，為玩家帶來更豐富、更具吸引力的遊戲體驗。

兩張鬼牌加入後撲克牌機率變化及最佳娛樂效果賠率表設計分析報告

簡介

標準撲克牌遊戲使用一副 52 張的牌，其中包含 13 個不同的牌階（2 到 Ace）和 4 種花色。在這種結構下，各種五張牌的牌型出現機率是固定的，例如皇家同花順的機率極低，而一對的機率則相對較高 1 2 2 3。為了增加遊戲的變化性和刺激性，一些撲克牌遊戲會加入鬼牌（Joker）。鬼牌作為萬用牌，可以替代任何其他牌來組成牌型，這必然會對各種牌型的出現機率產生顯著影響 4 5 6。本報告旨在深入分析在標準撲克牌遊戲中加入兩張鬼牌後（總共 54 張牌），各種牌型出現機率的變化，並基於此分析，探討如何設計一個能夠達到最佳娛樂效果的賠率表。報告將比較加入鬼牌前後的機率差異，重點關注高階牌型機率的提升，並參考現有的使用鬼牌的撲克牌遊戲的賠率表，以期為設計出既能獎勵稀有牌型又能維持遊戲平衡和趣味性的賠率表提供專業建議。

加入兩張鬼牌後（54 張牌）的機率分析

在標準的 52 張撲克牌中，抽取五張牌共有 C(52, 5) = 2,598,960 種可能的組合 7。當加入兩張鬼牌後，牌組變為 54 張，此時抽取五張牌的總組合數量增加至 C(54, 5) = 3,162,510 種 8。這個更大的樣本空間是計算加入鬼牌後各種牌型機率的基礎。

接下來，我們需要針對每一種撲克牌型，計算在加入兩張鬼牌後形成該牌型的組合數量。這包括了標準的牌型，以及由於鬼牌的加入而可能出現的新牌型，例如五條。

• 皇家同花順：

  • 自然皇家同花順（A-K-Q-J-10 同花）：仍然只有 4 種組合（每種花色各一種）。
  • 使用一張鬼牌的皇家同花順：鬼牌可以替代五張牌中的任何一張。有 5 個位置可以放置鬼牌，4 種花色，以及對於每種花色，有 4 個可能的鬼牌替代牌階（A、K、Q、J 或 10）。因此，共有 5 * 4 * 4 = 80 種組合。
  • 使用兩張鬼牌的皇家同花順：兩張鬼牌可以替代五張牌中的任何兩張。有 C(5, 2) = 10 種方式選擇鬼牌的位置。對於每種花色，剩下的三張牌必須構成皇家同花順的一部分。因此，共有 10 * 4 = 40 種組合。
  • 皇家同花順總組合數：4 + 80 + 40 = 124 種。
  • 分析：加入兩張鬼牌後，皇家同花順的組合數量從 4 種大幅增加到 124 種。

• 同花順：

  • 自然同花順（不包括皇家同花順）：36 種組合（9 種可能的起始牌階 * 4 種花色）9 2 2 2。
  • 使用一張鬼牌的同花順：鬼牌可以填補四張同花順中的一個空缺，或者作為同花順的最低或最高牌。對於每種花色，有 10 種可能的順子序列。鬼牌可以替代 4 個空缺中的任何一個。10 * 4 * 4 = 160 種。減去已計入的皇家同花順：160 - 4 * 4 = 144 種。
  • 使用兩張鬼牌的同花順：兩張鬼牌可以填補三張同花順中的兩個空缺。10 種可能的順子序列，C(4, 3) = 4 種方式選擇自然牌的花色。10 * 4 = 40 種。
  • 同花順總組合數：36 + 144 + 40 = 220 種。
  • 分析：同花順的組合數量也顯著增加。

• 五條：

  • 使用三張同階的自然牌和兩張鬼牌：13 種牌階 * C(4, 3) = 52 種組合。
  • 使用四張同階的自然牌和一張鬼牌：13 種牌階 * C(4, 4) = 13 種組合。
  • 五條總組合數：52 + 13 = 65 種 5 10 5。
  • 分析：五條是加入兩張鬼牌後新增的最高階牌型。

• 四條：

  • 自然四條：13 種牌階 * C(4, 4) 種花色 * 48 種 kicker = 624 種 11 12 13 14。
  • 使用一張鬼牌的四條：13 種牌階 * C(4, 3) 種花色 * 49 種 kicker = 13 * 4 * 49 = 2548 種。
  • 使用兩張鬼牌的四條：13 種牌階 * C(4, 2) 種花色 * 50 種 kicker = 13 * 6 * 50 = 3900 種。
  • 四條總組合數：624 + 2548 + 3900 = 7072 種。
  • 分析：四條的組合數量也大幅增加。

• 葫蘆：

  • 自然葫蘆：13 種三條牌階 * C(4, 3) * 12 種對子牌階 * C(4, 2) = 3744 種 15 16 17 2。
  • 使用一張鬼牌的葫蘆：鬼牌可以與一對形成三條，或與兩張同階牌形成四條（計為葫蘆）。
  • 使用兩張鬼牌的葫蘆：更多組合。
  • 分析：葫蘆的頻率預計會增加。

• 同花：

  • 自然同花（不包括同花順）：4 種花色 * C(13, 5) - 40 = 5108 種 3 18 19 18。
  • 使用一張鬼牌的同花：鬼牌可以作為任何花色。
  • 使用兩張鬼牌的同花：鬼牌可以作為任何花色。
  • 分析：同花的頻率將會增加。

• 順子：

  • 自然順子（不包括同花順）：10 種順子序列 * 4^5 - 40 = 10200 種 20 21 22 20。
  • 使用一張鬼牌的順子：鬼牌可以填補順子中的一個空缺。
  • 使用兩張鬼牌的順子：鬼牌可以填補順子中的多個空缺。
  • 分析：順子的頻率將會增加。

• 三條：

  • 自然三條：13 種三條牌階 * C(4, 3) * 12 種第一張 kicker 牌階 * 4 種花色 * 11 種第二張 kicker 牌階 * 4 種花色 / 2! = 54912 種 23 24 25 26。
  • 使用一張鬼牌的三條。
  • 分析：三條的頻率預計會增加。

• 兩對：

  • 自然兩對：C(13, 2) * C(4, 2)^2 * 11 * 4 = 123552 種 27 28 27。
  • 使用一張鬼牌的兩對。
  • 分析：兩對的頻率可能會降低，因為鬼牌更容易形成更高的牌型。

• 一對：

  • 自然一對：13 * C(4, 2) * C(12, 3) * 4^3 = 1098240 種 29 30 31 32。
  • 使用一張鬼牌的一對。
  • 分析：一對的頻率可能會降低。

• 散牌：

  • 通過總組合數減去所有其他牌型的組合數來計算。

加入鬼牌前後的機率變化比較

下表總結了標準 52 張牌組和加入兩張鬼牌的 54 張牌組中各種牌型的機率變化：

分析：從上表可以看出，加入兩張鬼牌後，高階牌型（如五條、皇家同花順、同花順、四條）的出現機率顯著提升。五條成為可能出現的最高階牌型，而皇家同花順和四條的機率也大幅增加。相對而言，低階牌型（如葫蘆、同花、順子、三條、兩對、一對、散牌）的機率則略有下降。

撲克牌遊戲賠率表設計原則

設計一個好的撲克牌遊戲賠率表需要考慮多個因素，核心原則是根據牌型的稀有度和期望的遊戲體驗來設定賠率 4 33 34 35。稀有度較高的牌型應該提供更高的賠率，以獎勵玩家獲得這些難得的牌型，並增加遊戲的刺激性。同時，賠率的設定也需要考慮遊戲的平衡性和趣味性，避免過於頻繁的高額獎勵，以維持遊戲的長期運營 33 33 36 34 37 38 39 40 40 41 42 43 44 45。此外，賠率表還需要考慮到賭場或遊戲運營商的利潤空間（莊家優勢）46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 51 53 52 56。

加入兩張鬼牌後賠率表的調整

由於加入兩張鬼牌後高階牌型出現的頻率大幅增加，原有的標準撲克牌賠率表可能不再適用。為了適應這種變化，需要對賠率表進行調整。一個重要的調整方向是引入新的牌型「五條」，並為其設定相應的賠率。由於五條的稀有度僅次於自然皇家同花順，其賠率應該高於四條，但可能略低於自然皇家同花順。

對於其他高階牌型（如皇家同花順、同花順、四條），由於其出現頻率的增加，原有的賠率可能需要適當降低，以防止過於頻繁的高額獎勵。同時，也需要考慮到低階牌型的賠率，以維持遊戲的整體平衡和玩家的參與度。

維持遊戲平衡和趣味性的賠率設定

設定賠率的關鍵在於找到一個平衡點，既能讓玩家在獲得稀有牌型時獲得足夠的獎勵，又能避免過於頻繁的高額獎勵，從而維持遊戲的平衡和趣味性。可以考慮以下策略：

• 引入多層次的賠率： 針對不同類型的皇家同花順（例如，自然皇家同花順、使用一張鬼牌的皇家同花順、使用兩張鬼牌的皇家同花順）設定不同的賠率，自然皇家同花順的賠率最高。
• 調整賠率的級距： 確保賠率的級距能夠清晰地反映牌型之間的稀有度差異。例如，五條的賠率應該明顯高於四條，而四條的賠率應該明顯高於葫蘆。
• 考慮 kicker 的影響： 在某些牌型中，可以考慮 kicker 的大小來設定略有不同的賠率，增加遊戲的複雜性和策略性。

參考使用鬼牌的撲克牌遊戲賠率表

參考現有的使用鬼牌的撲克牌遊戲（例如小丑牌撲克）的賠率表可以為我們的設計提供有價值的思路 57 58 59 60 60 61 62 63 64 65。這些遊戲的賠率表通常會包含五條，並且會根據鬼牌的使用情況調整其他牌型的賠率。分析這些賠率表的設計思路，可以幫助我們更好地理解如何在獎勵玩家和維持遊戲平衡之間取得平衡。例如，許多小丑牌撲克遊戲會降低自然皇家同花順的賠率，但會提供高額的五條賠率，以反映鬼牌帶來的影響。

結論與建議

加入兩張鬼牌後，撲克牌遊戲的機率分佈發生了顯著變化，高階牌型的出現頻率大幅增加，並引入了新的最高階牌型「五條」。為了適應這些變化並達到最佳的娛樂效果，需要仔細設計賠率表。建議採取以下措施：

1. 引入「五條」牌型： 將五條納入賠率表，並設定為僅次於自然皇家同花順的最高賠率牌型。
2. 調整高階牌型賠率： 適當降低皇家同花順、同花順和四條的賠率，以反映其增加的出現頻率。可以考慮根據鬼牌的使用數量設定不同的皇家同花順賠率。
3. 維持低階牌型賠率： 對於低階牌型（如三條、兩對、一對），賠率的調整幅度可以較小，以保持遊戲的連貫性和玩家的參與度。
4. 參考現有鬼牌撲克賠率表： 借鑒小丑牌撲克等遊戲的賠率表設計經驗，特別是關於五條和使用鬼牌形成高階牌型的賠率設定。
5. 進行遊戲測試和調整： 在實際遊戲環境中測試設計的賠率表，收集玩家的回饋，並根據測試結果進行迭代調整，以達到最佳的娛樂效果和遊戲平衡。

通過仔細的機率分析和周全的賠率表設計，可以創建一個既能充分利用鬼牌帶來的刺激性，又能長期吸引玩家的有趣且平衡的撲克牌遊戲。

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